芯耀
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今天給大俠帶來(lái)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，由于篇幅較長(zhǎng)，分三篇。今天帶來(lái)第三篇，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，包括窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器、頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR濾波器。話不多說(shuō)，上貨。
這里也超鏈接了上、中兩篇，方便參考學(xué)習(xí)。
數(shù)字濾波器的輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，信號(hào)通過(guò)數(shù)字濾波器后，可以改變頻率成分的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成分。數(shù)字濾波器可以分為IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器。
本篇只介紹FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，可以根據(jù)所給定的頻率特性直接設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器。FIR數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足要求的同時(shí)，能夠做到嚴(yán)格的線性特性。
本篇采用了窗函數(shù)法、頻率采樣法以及基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR濾波器。對(duì)FIR濾波器進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，并且對(duì)應(yīng)于每種方法都給出了設(shè)計(jì)實(shí)例。通過(guò)編寫(xiě)MATLAB語(yǔ)言程序，運(yùn)行程序，得到幅頻和相頻特性圖。
對(duì)于窗函數(shù)和firls函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器，還通過(guò)建立Simulink系統(tǒng)模塊進(jìn)行仿真，觀察濾波器濾波情況。
FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)
FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法。MATLAB語(yǔ)言中的數(shù)字信號(hào)處理工具箱，提供了一些濾波器的函數(shù)，使FIR濾波器的運(yùn)算更加方便和快捷。
在MATLAB中提供的濾波函數(shù)有fir1()，此函數(shù)以經(jīng)典的方法實(shí)現(xiàn)加窗線性相位FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，可以設(shè)計(jì)出低通、高通、帶通和帶阻濾波器；fir2函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器，其濾波的頻率特性由矢量f和m決定，f和m分別為濾波器的期望幅頻響應(yīng)的頻率相量和幅值相量。
Firls()和remez()的基本格式用于設(shè)計(jì)I型和II型線性相位FIR濾波器，I型和II型的區(qū)別是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。freqz()用于求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。并且提供了各種窗函數(shù)的函數(shù)，比如，hamming()是海明窗函數(shù)，hanning()是漢寧窗函數(shù)，kaiser()是凱澤窗函數(shù)，使在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，不用自己重新設(shè)計(jì)窗函數(shù)。
Simulink是MATLAB眾多工具包中的一員，對(duì)于建模，Simulink提供了一個(gè)圖形化的用戶界面（GUI）。Simulink包括一個(gè)復(fù)雜的由接收器、信號(hào)源、線性和非線性組件以及連接件組成的模塊庫(kù)。定義完一個(gè)模型后，就可以通過(guò)Simulink的菜單或者在MATLAB的命令窗口輸入命令對(duì)它進(jìn)行仿真。使用Scopes或者其他的顯示模塊，可以在運(yùn)行仿真時(shí)觀察到仿真的結(jié)果。另外，還可以在仿真時(shí)改變參數(shù)，并且立即就可看到變化。
一、窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器
設(shè)我們所要設(shè)計(jì)的FIR濾波器的傳輸函數(shù)是 ， 是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此
（3-1）
（3-2)
如果我們能夠在已知的情況下，求出，經(jīng)過(guò)Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。通常情況下理想數(shù)字濾波器的單
位脈沖相應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的，且是非因果序列。獲得有限脈沖響應(yīng)濾波器的一種可能方法是對(duì)
截取一段
來(lái)近似代替
，可是這樣會(huì)改變?cè)瓉?lái)的濾波器指標(biāo)，出現(xiàn)吉布斯效應(yīng)誤差。
窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權(quán)序列w(n)來(lái)修正式(1)的傅里葉基數(shù)以求得要求的有限脈沖響應(yīng)序列，即：
（3-3）
w(n)是有限長(zhǎng)序列，當(dāng)n<0或n>N-1時(shí)，w(n)=0。
這種方法的重點(diǎn)在于選擇某種合適的窗函數(shù)。要求窗函數(shù)主瓣寬度盡可能窄，以獲得最小的過(guò)渡帶；旁瓣相對(duì)值盡可能小，以使得通帶波紋小，并且阻帶衰減大。
下面介紹幾種常用的窗函數(shù)：
1、矩形窗(Rectangle Window)
（3-4）
其頻率函數(shù)為：
（3-5）
2、三角形窗(Bartlett Window)
（3-6）
其頻率函數(shù)為：
（3-7)
3、漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗
（3-8）
利用傅里葉變換得到頻率函數(shù)為：
（3-9）
當(dāng) 時(shí)，
，所以窗函數(shù)的幅度函數(shù)為：
(3-10)
4、漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗
（3-11）
其幅度函數(shù)為：
（3-12）
5、布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗
（3-13)
其幅度函數(shù)為：
(3-14）
6、凱澤(Kaiser)窗
（3-15）
其中：β是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)，是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。
上述窗函數(shù)的基本參數(shù)如下表：
窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器的步驟：
1）根據(jù)技術(shù)要求確定等待求值濾波器的單位取樣響應(yīng)。
2）根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶和阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。
3）計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)：
（3-16)
上式中， 是前面所選擇好的窗函數(shù)。
4）檢驗(yàn)技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。根據(jù)下式計(jì)算：
(3-17)
如果不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)步驟(2)(3)(4)步，直到滿足要求為止。
本篇以一個(gè)FIR濾波器的設(shè)計(jì)為例說(shuō)明如何使用MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。
設(shè)計(jì)實(shí)例：用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率Wp=0.4*，阻帶截止頻率Ws=0.5*
, 通帶衰減不大于3db，阻帶衰減不小于40db。
1、程序如下：
Wp=0.4*pi;Ws=0.5*pi;Wdel=Ws-Wp;N=ceil(8*pi/Wdel);Wn=(0.4+0.5)*pi/2;window=hanning(N+1);b=fir1(N,Wn/pi,window);freqz(b,1,512)
程序執(zhí)行后所得幅頻和相頻如下圖所示：
2、用Simulink仿真對(duì)窗函數(shù)設(shè)計(jì)的低通濾波器進(jìn)行濾波：
FIR低通濾波器的Simulink仿真模塊圖如下所示：
輸入信號(hào)：s(t)=sin(30πt)+sin(56πt)+sin(70πt)
數(shù)字濾波器參數(shù)設(shè)置：已知濾波器的階數(shù)n=80。
首先在Filter Type中選擇lowpass；
在Design Method選項(xiàng)中選擇FIR Window，接著在Window選項(xiàng)中選取hann；指定Filter Order項(xiàng)中的Specify order為80；
采樣頻率Fs=100Hz,截止頻率Fc=22.5HZ。
設(shè)置完以后點(diǎn)擊窗口下方的Design Filter，在窗口上方就會(huì)看到所設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。
設(shè)計(jì)界面如下圖所示：
信號(hào)源參數(shù)設(shè)置：三個(gè)信號(hào)源的頻率分別是15Hz、28Hz、35Hz ：
運(yùn)行仿真，得波形如下圖所示：
15HZ信號(hào)波形如下：
28HZ信號(hào)波形如下：
35HZ信號(hào)波形如下：
濾波前的疊加波形如下：
濾波后波形如下：
由上圖可知，15Hz、28Hz、35Hz疊加后通過(guò)截止頻率為22.5HZ的FIR低通濾波器，輸出與15Hz信號(hào)波形相似，其它的高頻被阻隔。
二、頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器
1、對(duì)理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行頻率采樣以得到系統(tǒng)的理想頻響
的等間隔采樣值H(k)。
H(k)實(shí)際上是所要求的濾波器的單位采樣響應(yīng)(h(n))的離散傅里葉變換（DFT），如下關(guān)系式：
(3-18)
(3-19)
為了減小H（k）的通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的變化而引起的起伏振蕩，可以增加過(guò)渡點(diǎn)，加寬過(guò)渡帶以減小通帶的起伏。
每一個(gè)抽樣值產(chǎn)生一個(gè)與 成正比，并位移
的頻率響應(yīng)，而H（k）與內(nèi)插函數(shù)的線性組合就是FIR濾波器的頻率響應(yīng)，增加一點(diǎn)過(guò)渡可以使阻帶衰減提高到-44~54dB，二點(diǎn)過(guò)渡衰減-65~75，三點(diǎn)過(guò)渡衰減-85~95dB。
如果不能使過(guò)渡帶太寬，同時(shí)要求增大阻帶衰減，可以增加取樣點(diǎn)數(shù)N，但這樣會(huì)增加計(jì)算量、延時(shí)和誤差。
頻率取樣型FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟：
(1)給定理想濾波器頻率響應(yīng)。
(2)根據(jù)過(guò)渡帶寬和阻帶衰減確定過(guò)渡點(diǎn)數(shù)和h(n)的長(zhǎng)度N。
(3-20)
(3)由IFFT計(jì)算IDFT得到：
(3-21)
設(shè)計(jì)實(shí)例：
頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器，
滿足：低阻帶邊緣：w1s=0.2*；低通帶邊緣：w1p=0.35*
；高通帶邊緣：w2p=0.65*
；高阻帶邊緣：w2s=0.8*
。設(shè)計(jì)過(guò)渡帶中的頻率樣本值為t1和t2，取t1=0.109021，t2=0.59417456。
設(shè)計(jì)程序如下：
M=40;al=(M-1)/2;l=0:M-1;t1=0.109021;t2=0.59417456;Hrs=[zeros(1,5),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,9),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,4)];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angh=[-al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angh);h=real(ifft(H,M));freqz(h,1,512,1000)
實(shí)驗(yàn)得幅頻相頻特性如下圖所示：
三、最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器
MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了通用的工具函數(shù)firls和remez，采用不同的優(yōu)化方法可以設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器和多頻帶濾波器。
firls是fir1和fir2函數(shù)的擴(kuò)展，其基本設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是利用最小二乘法使期望的頻率響應(yīng)和實(shí)際的頻率響應(yīng)之間的整體誤差最小。
Remez函數(shù)則利用Parks-McClellan算法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器。
該算法能使期望頻率響應(yīng)和實(shí)際頻率響應(yīng)之間的最大誤差最小。Firls函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器在頻率響應(yīng)上出現(xiàn)等波紋，因此也叫等波紋濾波器。
函數(shù)firls、remez調(diào)用的語(yǔ)法規(guī)則相同。
1） firls。
其調(diào)用格式為：
b=firls(n,f,a)
b=firls(n,f,a,w)
b=firls(n,f,a,’ftype’)
b=firls(n,f,a,w,’ftype’)
該函數(shù)用于設(shè)計(jì)n階FIR濾波器，其幅頻特性由f和a向量確定，f是頻率點(diǎn)向量，其范圍為0~1，是遞增向量；a是指定頻率點(diǎn)的幅度響應(yīng)，與f必須同長(zhǎng)度；b為函數(shù)返回的濾波器系數(shù)，長(zhǎng)度為n+1,且具有偶對(duì)稱關(guān)系：b(k)=-b(n+2-k), k=1,2,…,n+1；
b=firls(n,f,a,w)則使用權(quán)系數(shù)w給誤差加權(quán)。
b=firls(n,f,a,w,’ftype’)調(diào)用形式中，參數(shù)’ftype’用于指定所設(shè)計(jì)的濾波器類型，ftype=Hilbert，為奇對(duì)稱的線性相位濾波器。
返回的濾波器系數(shù)滿足b(k)=-b(n+2-k), k=1,2,…,n+1；ftype=differentiator，則采用特殊加權(quán)技術(shù)，生成奇對(duì)稱的線性相位濾波器，使低頻段誤差大大小于高頻段誤差。
2） 函數(shù)remez的基本調(diào)用格式為：b=remez(n,f,a)。
其中各項(xiàng)意義同函數(shù)firls所述。
設(shè)計(jì)實(shí)例：
分別使用函數(shù)firls和remez函數(shù)設(shè)計(jì)20階帶通濾波器，阻帶頻率為ws1=0.3*，ws2=0.7*
，通帶頻率為wp1=0.4*
,wp2=0.6*
，并畫(huà)出幅頻特性曲線。
1、程序如下所示：
f=[0 0.3 0.4 0.6 0.7 1];m=[0 0 1 1 0 0];n=20;b=firls(n,f,m); %firls函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器[h,w]=freqz(b);bb=remez(n,f,m); %remez函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器[hh,w]=freqz(bb);axes('position',[0.2 0.2 0.5 0.5]);plot(w/pi,abs(h),'b:',w/pi,abs(hh),'r-');xlabel('frequency');ylabel('magnitude');grid on;
實(shí)驗(yàn)得幅頻相頻特性如下圖所示：
2、用Simulink仿真對(duì)用firls函數(shù)設(shè)計(jì)的帶通濾波器進(jìn)行濾波：
仿真模塊如下：
輸入信號(hào)：s(t)=sin(20πt)+sin(50πt)+sin(90πt)
數(shù)字濾波器參數(shù)設(shè)置：已知濾波器的階數(shù)n=20。
首先在Filter Type中選擇bandpass；
在Design Method選項(xiàng)中選擇FIR least-squares；
指定Filter Order項(xiàng)中的Specify order為20；
采樣頻率Fs=100Hz,Fstop1=15HZ，F(xiàn)pass1=20HZ，F(xiàn)pass2=30HZ，F(xiàn)stop2=35HZ。
設(shè)置完以后點(diǎn)擊窗口下方的Design Filter，在窗口上方就會(huì)看到所設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)曲線。
設(shè)計(jì)界面如下圖所示：
信號(hào)源參數(shù)設(shè)置：三個(gè)信號(hào)源的頻率分別是10Hz、25Hz、45Hz ：
運(yùn)行仿真，得波形如下圖所示：
（1）10HZ信號(hào)波形如下所示：
（2） 25HZ信號(hào)波形如下所示：
（3）45HZ信號(hào)波形如下所示：
（4）濾波前波形如下所示：
（5）濾波后波形如下所示：
由以上波形可知，10Hz、25Hz、45Hz疊加后通過(guò)通頻帶為20Hz~30Hz的FIR帶通濾波器，輸出與25Hz信號(hào)相似，低頻和高頻部分被阻隔。
第三篇就到這里，本篇在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，采用的設(shè)計(jì)方法是基于MATLAB的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)過(guò)程中充分發(fā)揮了MATLAB語(yǔ)言編程效率高的特點(diǎn)以及Simulink仿真能力強(qiáng)的特點(diǎn)，完成各種計(jì)算與圖形繪制工作，使得數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)變得簡(jiǎn)便快捷。通過(guò)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)例，說(shuō)明如何利用MATLAB來(lái)完成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)結(jié)果的各項(xiàng)性能指標(biāo)均達(dá)到指定要求，Simulink仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的正確性。本篇所述設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)便易行，具有很好的實(shí)際運(yùn)用意義。
